연역논증_드모르간 법칙

드모르간 법칙은 다음을 말한다.

 

~(p∧q) ≡ ~p∨~q

~(p∨q) ≡ ~p∧~q

 

 

'~(p∧q) ≡ ~p∨~q'은 왜 논리적 동치일까?

 

왜 논리적 동치인지는 예를 들어보면 알 수 있다.

 

p = 춘식이는 감자를 먹었다

q = 춘식이는 옥수수를 먹었다

~(p∧q) = 춘식이가 감자와 옥수수를 먹었다는 것은 거짓이다

 

~p = 춘식이는 감자를 먹지 않았다

~q = 춘식이는 옥수수를 먹지 않았다

~p∨~q = 춘식이는 감자를 먹지 않았거나 옥수수를 먹지 않았다

 

'춘식이가 감자와 옥수수를 먹었다는 것은 거짓이다'와

'춘식이는 감자를 먹지 않았거나 옥수수를 먹지 않았다'는 것은 논리적으로 동치이다.

 

춘식이가 '감자와 옥수수를 먹었다'는 것은 거짓이므로, 춘식이는 감자만 먹었거나, 옥수수만 먹었거나, 둘 다 먹지 않았을 것이다.

춘식이가 '감자를 먹지 않았거나 옥수수를 먹지 않았다'면, 춘식이는 감자만 먹엇거나, 옥수수만 먹었거나, 둘 다 먹지 않았을 것이다.(일상생활에서 A 또는 B라고 말하는 경우, 둘 중 하나만을 택하라는 의미로 쓰이지만, 논리학에서 A 또는 B라고 말하는 경우에는 둘 중 하나를 택해도 되고 두 가지 모두를 택해도 된다는 것이기 때문에)

 

 

~(p∨q) ≡ ~p∧~q

 

이 법칙 또한 예를 들어보면 왜 논리적 동치인지 쉽게 알 수 있다.

 

p = 춘식이는 감자를 먹었다

q = 춘식이는 옥수수를 먹었다

~(p∨q) = 춘식이가 감자나 옥수수를 먹었다는 것은 거짓이다

 

~p = 춘식이는 감자를 먹지 않았다

~q = 춘식이는 옥수수를 먹지 않았다

~p∧~q = 춘식이는 감자를 먹지 않았고, 옥수수를 먹지 않았다

 

 

 

드모르간 법칙은 벤다이어그램을 그려보면 쉽게 알 수 있다.